Векторлық көбейтінді бетінің кодын көру

[[Сурет:Cross product vector.svg|thumb|right|250px|Векторлық көбейтінді үшөлшемді кеңістікте.]]
<math>\mathbf a</math> векторы мен <math>\mathbf b</math> векторының <math>\R^3</math> [[кеңістік|кеңістігіндегі]] '''векторлық көбейтіндісі''' деп келесі шарттарды қанағаттандарытын <math>\mathbf c</math> векторын айтады:
* <math>\mathbf c</math> векторының ұзындығы <math>\mathbf a</math> және <math>\mathbf b</math> векторларының ұзындықтарының және олардың арасындағы <math>\varphi</math> бұрышының [[Тригонометриялық функциялар|синусының]] көбейтіндісіне тең: <math>\left| \mathbf c \right| = \left| \mathbf a \right| \left| \mathbf b \right| \sin \varphi</math>;
* <math>\mathbf c</math> векторы әр <math>\mathbf a</math> және <math>\mathbf b</math> векторларына [[ортогональдық|ортогональ]] ;
* <math>\mathbf c</math> векторыны <math>\mathbf{abc}</math> векторлар үштігі оң болатындай бағытталған;
* <math>\R^7</math> кеңістігі үшін <math>\mathbf{a,b,c}</math> векторлар үштігінің ассоциативтігі орындалу қажет.
Белгілеуі:
: <math> \mathbf c = \left[ \mathbf a \mathbf b \right] = \left[ \mathbf a,\; \mathbf b \right] = \mathbf a \times \mathbf b</math>

Векторлық көбейтіндіні алғаш рет 1846 жылы енгізген  — [[Гамильтон Уильям Роуан|У. Гамильтон]].<ref>{{кітап|авторы=Crowe M. J.|тақырыбы=A History of Vector Analysis – The Evolution of the Idea of a Vectorial System|жыл=1994|баспа=Courier Dover Publications|бет=270|беттері=32|isbn=0486679101|сілтеме=http://books.google.lt/books?id=y5-S5dmVqGIC&pg=PA32}}</ref> 
[[Сурет:Right hand rule cross product.svg|right|thumb|250px|[[Оң қол ережесі]]мен векторлық көбейтінді бағытын анықтау]]
== Қасиеттері ==

=== Геометриялық қасиеттері ===
[[Сурет:Cross product parallelogram.svg|right|thumb|250px|1 сурет: Параллелограмм ауданы векторлық көбейдінді модуліне тең.]]
[[Сурет:Parallelpiped volume.svg|thumb|250px|2 сурет: Параллелепипед көлемін есептеудегі векторлардың векторлық және скаляр көбейтінділері; пунктир сызықтар  '''c''' векторының '''a × b'''векторына және '''a'''-ның '''b × c''' векторына проекцияларын көрсетеді, алдымен скаляр көбейтінділерді есептейді.]]
* Екі нөлдік емес векторлардың [[коллинеарлық|коллинеарлығы]] үшін олардың векторлық көбейтіндісінің нөл болуы қажет және жеткілікті.
* Векторлық көбейтінді <math>[\mathbf{ab}]</math> модулі ортақ нүктеге келтірілген <math>\mathbf a</math> және <math>\mathbf b</math> (1 суретті қара) векторларымен тұрғызылған  [[параллелограмм]]ның <math>S</math>  ауданына тең 
* Егер<math>\mathbf e</math> — <math>\mathbf a</math> және <math>\mathbf b</math> векторларына ортогональ [[бірлік вектор]] болса, ал <math>\mathbf a, \mathbf b, \mathbf e</math> — оң үштік, <math>S</math> — <math>\mathbf a</math> және <math>\mathbf b</math> векторларымен тұрғызылған параллелограмм болса, онда келесі формула орындалады:
: <math>
  [ \mathbf a,\; \mathbf b ] = S\, \mathbf e
  </math>
* Егер <math>\mathbf c</math> — кез келген вектор, <math>\pi</math> — осы вектор жатқан кез келген жазықтық, <math>\mathbf e</math> — осы жазықтықтағы бірлік вектор және бірлік вектор <math>\mathbf c</math> векторына ортогональ, <math>\mathbf g</math> — <math>\pi</math> жазықтығына ортогональ бірлік вектор және <math>\mathbf {ecg}</math> үштік векторлары оң болса, онда <math>\pi</math> жазықтығында жатқан кез келген <math>\mathbf a</math> векторы үшін келесі өрнек орындалады
: <math>
  \left[ \mathbf a,\; \mathbf c \right] = \mathrm{Pr}_{ \mathbf e }\,  \mathbf a \left| \mathbf c \right| \mathbf g.
  </math>
* Векторлық және скаляр көбейтінділерді пайдалан отырып '''a''', '''b''' және '''c''' векторларымен тұрғызылған (бір нүктеге келтіріліп, 2 суретті қара) параллелепипед көлемін есептеуге болады . Бұндай үш вектор көбейтіндісін [[аралас көбейтінді|аралас]] деп атайды.
: <math>V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|.</math>
Суретте көрсетілгендей көлем екі әдіспен есептеледі: геометриялық нәтижесі тіпті «скаляр» және «векторлық» көбейткіштерді орындарымен ауыстырғаннан да өзгермейді:
: <math>V =\mathbf{a \times b \cdot c} = \mathbf{a \cdot b \times c} \ . </math>
=== Алгебралық қасиеттері ===
{| class="wikitable" style="text-align: left; text-valign: top; margin:2px 2px 2px 2px;"
! style="text-align: left; background-color: #eef; line-height:18px;" | '''Өрнектері'''
| style="text-align: left; background-color: #eef; line-height:18px;" | '''Сипаттамасы'''
|-
|<math> \left[ \mathbf{a},\; \mathbf b \right] = - \left[ \mathbf b, \mathbf a \right] </math>
|[[Антикоммутативтілік]] қасиеті
|-
|<math> \left[ \left(\alpha \mathbf a \right),\; \mathbf b \right] = \left[ \mathbf a,\; \left(\alpha \mathbf b \right) \right] = \alpha \left[ \mathbf a,\; \mathbf b \right] </math>
|скалярға көбейтуге қатысты [[ассоциативтілік]] қасиеті
|-
|<math> \left[ \left( \mathbf a + \mathbf b \right),\; \mathbf c \right] = \left[ \mathbf a,\; \mathbf c \right] + \left[ \mathbf b,\; \mathbf c \right] </math>
|қосу бойынша [[дистрибутивтілік]] қасиеті
|-
|<math> \left[ \left[ \mathbf a,\; \mathbf b \right],\; \mathbf c \right] + \left[ \left[ \mathbf b,\; \mathbf c \right],\; \mathbf a \right] + \left[ \left[ \mathbf c, \mathbf a \right],\; \mathbf b \right]= 0 </math>
|тождество Якоби, выполняется в <math>\R^3</math> и нарушается в <math>\R^7</math>
|-
|<math> \left[ \mathbf a,\; \mathbf a \right] =\mathbf 0 </math>
|
|-
|<math> \left[ \mathbf a,\; [ \mathbf b,\; \mathbf c ] \right]~=~\mathbf b (\mathbf a,\; \mathbf c) - \mathbf c (\mathbf a,\; \mathbf b)</math>
|«БАЦ минус ЦАБ» формуласы, [[қосарланған векторлық көбейтінді|Лагранж теңдігі]]
|-
|<math> |[\mathbf a, \, \mathbf b]|^2 + (\mathbf a, \, \mathbf b)^2 = |\mathbf a|^2 |\mathbf b|^2</math>
|[[кватернион]]дар нормасының <math>|\mathbf{vw}| = |\mathbf{v}| |\mathbf{w}|</math> мультипликативтілік жекеше түрі 
|-
|<math>([\mathbf a, \, \mathbf b], \, \mathbf c)=(\mathbf a, \, [\mathbf b, \, \mathbf c])</math>
|бұл өрнек мәнін <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> [[векторлардың аралас көбейтіндісі]] деп атайды, <math>( a, \, b, \, c )</math> немесе <math>\langle a, \, b, \, c \rangle</math> деп белгілейді
|}
== Декарттық координаттардағы өрнектелулері ==
Егер екі <math>\mathbf a</math> және <math>\mathbf b</math> векторлары өз [[тікбұрышты координаттар жүйесі|тікбұрышты декарттық координаттарымен]] анықталған болса, дәлірек айтқанда — [[ортокелтірілген базис]]те

: <math> \mathbf a = (a_x,\; a_y,\; a_z) </math>
: <math>\mathbf b = (b_x,\; b_y,\; b_z) </math>

ал координаттар жүйесі оң болса, онда олардың векторлық көбейтіндісі былай өрнектеледі

: <math>
[ \mathbf a,\; \mathbf b ] = (a_y b_z - a_z b_y,\; a_z b_x - a_x b_z,\; a_x b_y - a_y b_x).
</math>

Формуланы жаттау үшін матрица [[анықтауыш]]ын пайдаланған жөн:

: <math>
[ \mathbf a,\; \mathbf b ] = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}
</math>

немесе
: <math>
[ \mathbf a,\; \mathbf b ]_i = \sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{i j k} a_j b_k,
</math>
мұндағы<math>\varepsilon_{i j k}</math> — [[Леви-Чивит белгісі]].

Егер координаттар жүйесі теріс болса, онда

: <math>
[ \mathbf a,\; \mathbf b ] = (a_z b_y - a_y b_z,\; a_x b_z - a_z b_x,\; a_y b_x - a_x b_y).
</math>

Жаттау үшін дәл солай:

: <math>
[ \mathbf a,\; \mathbf b ] = - \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}
</math>

немесе
: <math>
[ \mathbf a,\; \mathbf b ]_i = - \sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{i j k} a_j b_k.
</math>

== Дереккөздер ==
<references/>

[[Санат:Векторлық талдау]]
[[Санат:Аналитикалық геометрия]]