Квадрат теңдеу бетінің кодын көру

[[2-дәрежелі көпмүше]] немесе квадраттық теңдеу, квадраттық үшмүшелік деп 

:<math>ax^2+bx+c=0,\,\!</math> 

түріндегі [[көпмүшелі теңдеу]]ді айтамыз. Мұндағы ''a''≠0 (Егер ''a'' = 0 болса, теңдеу ). Квадрат теңдеудің графигі - парабола (яғни [[квадрат функция]]).Квадрат теңдеу – ''2-дәрежелі алгебралық теңдеу''. Оның жалпы түрі мынадай: 
''ax2+bx+c=0'', ''a≠0''. [[Квадрат үшмүше]] [[комплекс сан]]дар [[жиын]]ында <math>~(C)</math> [[сызықтық көбейткіш]]терге жіктеледі: <math>~ax^{2}+bx+c=a\left( x-x_{1}\right) \left( x-x_{2}\right)</math>,мұндағы<math>~x_{1},x_{2}-ax^{2}+bx+c=0</math> [[квадрат тендеу]]дің түбірлері; <math>~x_{1} , x_{2}</math> — сандары[[квадрат үшмүше]]нің түбірлері деп те, сонымен қатар бұлар <math>~y=f\left( x\right) =ax^{2}+bx+c</math>[[квадрат функциясының нөлдері]] деп те аталады. Квадрат үшмүшені мына түрде де жазуға болады:

* <math>~ax^{2}+bx+c=a\left( x+\dfrac {b} {2a}\right) ^{2}-\dfrac {b^{2}-4ac} {4a}</math>

Осы өрнек нақты [[айнымалы]]ның [[квадрат функция]]сының графигін салу кезінде [[функция]]ның ең үлкен (<math>~a > 0</math> болғанда) немесе ең кіші (<math>~a < 0</math> болғанда) [[мән]]дерін анықтау үшін пайдаланылады.<math>~ax^{2}+bx+c</math> квадрат функциясының графигі [[парабола]] болады, оның <math>~\left( -\dfrac {b} {2a},\dfrac {b^{2}-4ac} {4a}\right)</math> [[нүкте]]сінде орналасқан.

<math>~x=-\dfrac {b} {2a}</math> -— түзуі [[парабола]]ның [[симметрия]] осі болып табылады. <math>~a > 0</math>болғанда параболаның [[тармақ]]тары жоғары карай, <math>~a<0</math> болғанда — төмен қарай бағытталады.<math>~a<0</math> болғанда  <math>~x=-\dfrac {b} {2a}</math> нүктесінде максимумға кетерілсе, ал <math>~a>0</math>болғанда <math>~y=-\dfrac {b^{2}-4ac} {4a}</math> нүктесінде минимумға төмендейді.

Парабола [[ордината осі]]н (<math>~0, b</math>) нүктелерінде қиып өтеді. Егер квадрат үшмүшенің нақты[[түбір]]лері <math>~x_{1}\neq x_{2}</math> болса, онда парабола абсцисса осін <math>~(x_1, 0)</math> және <math>~(x_2, 0)</math> нүктелерінде қиып өтеді, <math>~x = x_2</math> болса, парабола абсцисса осімен <math>~(x_1, 0)</math> нүктесінде жанасады.<ref>"Математикалық ойашар", "Қазақ энциклопедиясы" Алматы, 2009 ISBN 9965-893-25-X</ref>

''a'', ''b'', және ''c'' әріптері - [[коэффицент]]тер деп аталады: ''a'' квадраттық коэффиценті - ''x''<sup>2</sup>-тың коэффиценті, ''b'' коэффиценті - ''x''-тің коэффиценті, ал ''c'' - [[тұрақты]] коэффицент немесе [[тұрақты мүше]]

[[Сурет:Quadratic equation coefficients.png|thumb|right|200px| ''ax''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''bx''&nbsp;+&nbsp;''c'' - ның графиктері (Әр коэффицентінің мәнін өзгерткенде)]]

== Квадрат формуласы ==
Квадрат теңдеудің коэффиценттері нақты болса, оның екі шешімі немесе түбірі болады. Оларды '''квадрат формуласы''' сипаттайды:

:<math>x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math> ,

яғни:
:{|
|-
|<math>x_+ = \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math>
| style="width:100px" align="center" | және
|<math>x_- = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math>
|}

== Дискриминант ==
[[Image:Quadratic equation discriminant.png|thumb|right|Дискриминант мәндеріне байланысты түбірлер<br 
/><span style="color: #FFE600">■</span> &lt;0: ''x''<sup>2</sup>+<sup>1</sup>⁄<sub>2</sub><br
/><span style="color:#bc1e47">■</span> =0: −<sup>4</sup>⁄<sub>3</sub>''x''<sup>2</sup>+<sup>4</sup>⁄<sub>3</sub>''x''−<sup>1</sup>⁄<sub>3</sub><br
/><span style="color:#0081cd">■</span> &gt;0: <sup>3</sup>⁄<sub>2</sub>''x''<sup>2</sup>+<sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>''x''−<sup>4</sup>⁄<sub>3</sub>]]
Төмендегі формула квадрат түбірлерді табуға қажет:
:<math>D = b^2 - 4ac , \,\!</math>
Бұл дискриминант деп аталады.

Квадрат функцияның коэффиценттері нақты сан болса (комплекс сан емес) онда оның бір әлде екі нақты немесе екі комплекс түбірлері бар. Осыған байланысты дискриминант түбірлердің түрі мен санын анықтайды. Дискриминант мәніне байланысты үш жағдай болуы мүмкін:
* Егер дискриминант оң сан болса теңдеудің 2 түбірі бар және олар нақты:
: <math>\begin{align}
 x_1 &= \frac{-b + \sqrt {D}}{2a} \\
 x_2 &= \frac{-b - \sqrt {D}}{2a} \\
\end{align}</math>

* Егер дискриминант нөлге тең болса, теңдеудің бір нақты түбірі бар:
*: <math> x = -\frac{b}{2a} . \,\!</math>
* Егер дискриминант теріс сан болса теңдеудің нақты түбірлері жоқ. Керісінше, теңдеудің екі комплекс түбірі бар:
*: <math>\begin{align}
 x_1 &= \frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {|D|}}{2a}\end{align}</math> мұнда <math>\begin{align}|D|\end{align}</math> - абсолют мәні(+ve) және <math>\begin{align}i \end{align}</math> = <math>\begin{align}{\sqrt {-1}}\end{align}</math>
*: <math>\begin{align} x_2 &= \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {|D|}}{2a}
\end{align}</math>

===Виет формуласы===

x2+px+q=0 түріндегі келтірілген квадрат теңдеудің шешімі төмендегіше өрнектеледі: 
x1,2=.
Квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттері бір-бірімен мынадай қатынастар арқылы байланысқан:
x1+x2=, x1x2= .

== Мысалдар ==
* <math>7x + 15 - 2x^2 = 0</math> теңдеуінде дискриминант оң: <math>\Delta = 169</math> және екі нақты шешімі (түбірлері) бар:
*: <math>x_1=\frac{-7-\sqrt{169}}{2\cdot(-2)}= 5</math>
*: <math>x_2=\frac{-7+\sqrt{169}}{2\cdot(-2)} = -\frac{3}{2}.</math>
* <math>x^2 -2x + 1 = 0</math> теңдеуінің дискриминанты нөлге тең: <math>\Delta</math>=0 яғни, теңдеудің бір шешімі бар:
*: <math>x =-\frac{-2}{2}=1</math>
* <math>x^2 + 3 x + 3 = 0</math> теңдеуінің нақты сандар арасында шешімі жоқ, өйткені: <math>\Delta = - 3 < 0</math>. Бірақ екі комплекс түбірлері бар:
*: <math>x_1 = \frac{-3 - \sqrt{3} i}{2}</math>
*: <math>x_2 = \frac{-3 + \sqrt{3} i}{2}.</math>
Квадрат  теңдеудің сол жақ бөлігін [[a(x–x1)(x–x2)=0]] түрінде көрсетуге болады. ге келтірілетін есептерді шешу мәселесі ежелгі дәуір математиктеріне де белгілі болған. Квадрат теңдеу терминін неміс философы әрі математигі ''[[Х.Вольф]]'' (''1679 – 1754'') енгізген (''1710'').
<references />
[[Санат:Теңдеулер]]
[[Санат:Көпмүшеліктер]]
[[Санат:Элементар алгебра]]
{{Алгебралық теңдеулер}}